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文章 - 点集拓扑基础
点集拓扑基础
整理一下点集拓扑的几个重要概念
数学
发布于：2026-07-30

前言

这段时间有了学习微分几何的任务，我也购入了在网上被捧成神书的梅加强编的《流形与几何初步》。听说这本书的内容相当前沿，且风格较为简练、直入主题，相对的就不会有什么篇幅去讲基础内容。翻开这本书，映入眼帘的就是流形的定义。因此在学习之前有必要再回顾一下点集拓扑基础。

下面将对几个重要概念进行阐述，而不会翔实地系统介绍整个点集拓扑基础（主要是集合论）。因此本文仅供参考。

拓扑空间

定义

开门见山，先给出拓扑空间的定义：

非空集合 X\mathcal{X} 的一个 拓扑 T\mathscr{T} 是 X\mathcal{X} 的若干子集的集合，满足：

a) X,∅∈T\mathcal{X}, \varnothing \in \mathscr{T}

b) T\mathscr{T} 中有限个元素之交仍属于 T\mathscr{T}

c) T\mathscr{T} 中任意多个元素之并仍属于 T\mathscr{T}

则 X\mathcal{X} 称为 拓扑空间，则拓扑空间 X\mathcal{X} 中属于 T\mathscr{T} 的子集称为 开子集，简称 开集。

在把开集的概念抽象化之前，我们可以先把开集想象为实数集 R\mathbb{R} 中的开区间，且我们把空集定义为开集。此时拓扑 Tu:={空集或R中能表示为开区间之并的子集}\mathscr{T}_u := \{ 空集或 \mathbb{R} 中能表示为开区间之并的子集 \}，此时 Tu\mathscr{T}_u 称为 R\mathbb{R} 的 通常拓扑。可以想象，有限个开区间的交一定也是个开区间，且任意多个开区间的并依然是开区间。

为什么无限个开区间的交不一定是开区间？取一列开区间 Un=(−1n,1n)\mathcal{U}_n = (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})，可以得到 ⋂n=1+∞Un={0}\bigcap_{n=1}^{+\infty} \mathcal{U}_n = \{ 0 \}，结果是一个闭区间。因此无限交可能会破坏开性，我们通常只要求有限个开集之交仍为开集。

几种拓扑

对于一个集合 X\mathcal{X}，我们可以定义不同的拓扑。下面我们介绍几种拓扑。

若 T\mathscr{T} 为 X\mathcal{X} 全部子集的集合，则 T\mathscr{T} 称为 离散拓扑。离散拓扑是元素最多的拓扑。

若 T={X,∅}\mathscr{T} = \{ \mathcal{X}, \varnothing \}，则 T\mathscr{T} 称为 凝聚拓扑。凝聚拓扑是元素最少的拓扑。

Tu:={空集或Rn中能表示为开球(开区间)之并的子集}\mathscr{T}_u := \{ 空集或 \mathbb{R}^n 中能表示为开球 ( 开区间 )之并的子集 \} 称为 Rn\mathbb{R}^n 的 通常拓扑。

设拓扑空间 (X1,T1),(X2,T2)(\mathcal{X}_{1}, \mathscr{T}_{1}), (\mathcal{X}_{2}, \mathscr{T}_{2}) 为拓扑空间，X=X1×X2\mathcal{X} = \mathcal{X}_{1} \times \mathcal{X}_{2}，定义 X\mathcal{X} 的拓扑为 T:={O∈X∣O可表示为O1×O2的子集之并,O1∈T1,O2∈T2}\mathscr{T} := \{ \mathcal{O} \in \mathcal{X} \mid \mathcal{O} 可表示为 \mathcal{O}_{1} \times \mathcal{O}_{2} 的子集之并, \mathcal{O}_{1} \in \mathscr{T}_{1}, \mathcal{O}_{2} \in \mathscr{T}_{2} \} 则 T\mathscr{T} 称为 X\mathcal{X} 的 乘积拓扑。

在不同的拓扑下，即使一个集合在通常拓扑衡量下是开集，在此拓扑衡量下也有可能不是开集。

设 (X,T)(\mathcal{X}, \mathscr{T}) 为拓扑空间。有时，我们往往需要构造 X\mathcal{X} 子集的拓扑。即设 A\mathcal{A} 为 X\mathcal{X} 的任一非空子集，需要指定拓扑 S\mathscr{S} 使 A\mathcal{A} 也成为拓扑空间。当 A\mathcal{A} 为开集时很简单，但当 A\mathcal{A} 不为开集时，我们仍需使其成为拓扑空间。因此，我们采用以下定义：

S:={V⊂A∣∃O∈T,V=A∩O}\mathscr{S} := \{ \mathcal{V} \subset \mathcal{A} \mid \exists \mathcal{O} \in \mathscr{T}, \mathcal{V} = \mathcal{A} \cap \mathcal{O} \}

此时可以理解为，即使 A\mathcal{A} 不是开集，S\mathscr{S} 定义下的开集可以以 A\mathcal{A} 的某段边界为边界。因此 S\mathscr{S} 满足拓扑的条件，S\mathscr{S} 称为 A\mathcal{A} 的，由 T\mathscr{T} 导出的 诱导拓扑。(A,S)(\mathcal{A}, \mathscr{S}) 称为 (X,T)(\mathcal{X}, \mathscr{T}) 的拓扑子空间。此后在对拓扑空间的子集指定拓扑时，都无声明地认为是诱导拓扑。

拓扑空间间映射的连续性

同样地，我们可以把数学分析映射的连续性扩展到拓扑空间。设 (X,T)(\mathcal{X}, \mathscr{T}) 和 (Y,S)(\mathcal{Y}, \mathscr{S}) 为拓扑空间：

映射 f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal {Y} 称为 在点 x∈Xx \in \mathcal{X} 处连续，∀G′∈S\forall \mathcal{G}' \in \mathscr{S} 满足 f(x)∈G′f(x) \in \mathcal{G}'，∃G∈T\exists \mathcal{G} \in \mathscr{T} 使 x∈Gx \in \mathcal{G} 且 f[G]⊂G′f[\mathcal{G}] \subset \mathcal{G}'。

当 ff 在所有点 x∈Xx \in \mathcal{X} 上连续，称为 连续 的。定义可以整理为以下形式：

映射 f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal {Y} 称为 连续 的，∀O∈S,f−1[O]∈T\forall \mathcal{O} \in \mathscr{S}, f^{-1}[\mathcal{O}] \in \mathscr{T}。

同胚

若拓扑空间 (X,T)(\mathcal{X}, \mathscr{T}) 和 (Y,S)(\mathcal{Y}, \mathscr{S}) 间存在映射 f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}，满足：

  • ff 是一一映射（或者说一一到上）
  • ff 及 f−1f^{-1} 都连续 则 (X,T)(\mathcal{X}, \mathscr{T}) 和 (Y,S)(\mathcal{Y}, \mathscr{S}) 称为 互相同胚， ff 称为 (X,T)(\mathcal{X}, \mathscr{T}) 到 (Y,S)(\mathcal{Y}, \mathscr{S}) 的 同胚映射，简称 同胚。

根据同胚的定义，我们知道 R\mathbb{R} 上的开区间都与 R\mathbb{R} 同胚，单位圆周 S1\mathcal{S}^1 （拓扑空间由 R2\mathbb{R}^2 的 Tu\mathscr{T}_u 诱导）与 R\mathbb{R} 不同胚，但挖去一点的圆周与 R\mathbb{R} 同胚。

拓扑空间的性质

Hausdorff 空间

拓扑空间 (X,T)(\mathcal{X}, \mathscr{T}) 称为 T2T_2 空间 或 Hausdorff 空间，若 ∀x,y∈X,x≠y,∃O1,O2∈T使x∈O1,y∈O2且O1∩O2=∅\forall x, y \in \mathcal{X}, x \neq y, \exists \mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2 \in \mathscr{T} 使 x \in \mathcal{O}_1, y \in \mathcal{O}_2 且 \mathcal{O}_1 \cap \mathcal{O}_2 = \varnothing

若 T2T_2 空间的一个子集紧致，则其为闭集。

在同胚映射下保持不变的性质称为 拓扑性质 或 拓扑不变性。其中 T2T_2 性就是拓扑性质。此外还有紧致性、连通性等。

可数空间

第一可数空间

空间 X\mathcal{X} 称为 A1A_1 空间 或 第一可数空间，若对于任意一个 x∈Xx \in \mathcal{X}，存在一个可数的邻域基 {O1,O2,⋯ ,On,⋯ }\{ \mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2, \cdots, \mathcal{O}_n, \cdots \}，使得对于 xx 的任意一个邻域 O\mathcal{O} 都存在邻域基中的 On\mathcal{O}_n 满足 x∈On⊂Ox \in \mathcal{O}_n \subset \mathcal{O}。

例如对于 Rn\mathbb{R}^n，对每个 xx 取可数邻域基 B(x,1n),n∈N\mathcal{B}(x, \frac{1}{n}), n \in \mathbb{N}，容易知道任意一个 xx 的邻域都存在一个 NN 使得 n>Nn \gt N 时，x∈B(x,1n)⊂Ox \in \mathcal{B}(x, \frac{1}{n}) \subset \mathcal{O}。因此 Rn\mathbb{R}^n 是 A1A_1 空间。

第一可数空间的闭包可以用序列 xn∈Xx_n \in \mathcal{X} 逼近。

第二可数空间

拓扑空间 (X,T)(\mathcal{X}, \mathscr{T}) 称为 A2A_2 空间 或 第二可数空间，若整个拓扑空间存在一个可数基 {O1,O2,⋯ }⊂T\{ \mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2, \cdots\} \subset \mathscr{T}，任意一个开集 O∈T\mathcal{O} \in \mathscr{T} 都可以表示为 O=⋃Oi⊂OOi\mathcal{O} = \bigcup_{\mathcal{O}_i \subset \mathcal{O}} \mathcal{O}_i。

例如对于 (Rn,T)(\mathbb{R}^n, \mathscr{T})，取可数基 B((x1,x2,⋯ ,xn),rn)\mathcal{B}((x_1, x_2, \cdots, x_n), r_n)，其中 x1,x2,⋯ ,xn∈Q,rn∈Q+x_1, x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{Q}, r_n \in \mathbb{Q}_+，由实数集的稠密性，任意一个开集可以表示为该基的元素之并。因此 Rn\mathbb{R}^n 是 A2A_2 空间。

A2A_2 性要强于 A1A_1 性。

参考文献

[1] Le Yang, 微分几何入门.

文章目录
前言拓扑空间定义几种拓扑拓扑空间间映射的连续性同胚拓扑空间的性质Hausdorff 空间可数空间第一可数空间第二可数空间参考文献